Google debe su nombre a una variación de la palabra "Gugol", que es el nombre del número 10^100, diez mil hexadecillones, o sea un 1 seguido de 100 ceros, fue acuñado por Milton Sirotta, un niño de 9 años, anunciando el concepto en su libro "Las matemáticas y la imaginación, Asimov dijo sobre esto: "Tendremos que padecer eternamente un número inventado por un bebé".
Es el mayor número posible a representar en la mayoría de calculadoras (bueno, en realidad sería 0,999999999 Gugol, 9*10^99, se acerca bastante) y resulta interesante como uno de los números gigantes que la gente conoce, no posee aplicación matemática útil sin embargo resulta curioso.
De hecho es tan enorme que supera al número de átomos estimado para el universo, aproximadamente 10^80
Partamos por algo simple, contar hasta 1000 (a ritmo de un número por segundo) tardaríamos 17 minutos, para contar hasta el millón tardaríamos 16667 minutos, 278 horas aproximadamente, llendo mucho más allá, para contar hasta un trillón se necesitan 2.7777778*10^14 horas, 31709791984 años, eso es más que la edad del universo (13.700 millones de años), ahora, para contar hasta un Gugol se necesitan 3.2*10^92 años, si hubiesemos empezado a contar desde el Big Bang el universo moriría antes de terminar de contar.
Sin embargo un Gugolplex es aún más abrumador, es 10^Gugol, un uno seguido de un Gugol de ceros, tan enorme que al escribirlo en una hoja de papel en línea recta (suponiendo que hubiese tanto papel en el universo) sería más grande que el universo observable.
para contarlo necesitariamos que el universo se reiniciara cada vez que pasan 13700 millones de años aproximadamente 10^(Gugolplex-17) veces.
Un Gugolduplex es aún más gigante, un número inconcebiblemente grande, 10^Gugolplex, un uno seguido de Gugolplex de ceros, tan grande que si usamos todo el volumen del universo para escribirlo en muchas hojas de papel de tamaño cósmico, no alcanzaría espacio en el universo conocido.
Podríamos seguir con GugolTriplex, GugolTetraplex, etc... sin embargo, continuemos con un número aún mayor El Número de Graham
Es el mayor número usado en una demostración matemática seria (de hecho tiene el record Guinnes), y uno se pregunta ¿Para qué pregunta demencial hay una respuesta tan gigantesta?
"Considérese un hipercubo n-dimensional, y conéctese cada par de vértices para obtener un grafo completo con 2^n vértices. Posteriormente, coloréese cada una de las aristas de negro o de rojo. ¿Cuál es el menor valor de n para el cual toda manera de colorear las aristas necesariamente da lugar a un subgrafo completo de un solo color con 4 vértices que forman un plano?"
Básicamente es de cuantas dimensionaes tiene que ser un cubo para que al pintarlos de 2 colores, no hayan dos lineas seguidas con el mismo color. Para calcular las formas de combinar planos en dos dimensiones tenemos que elevar 2 a 33.550.336, debido al número de segmentos para unir cada vértice y eso ya es incalculable, la respuesta a aquella pregunta es incluso más grande, no hay computador, ni siquiera combinando cada computador en el mundo, que sea capaz de calcularlo.
Entonces, ¿como lo anotamos? puedes pensar que usar exponentes ya es inútil y estarás en lo cierto.
Las flechas hacia arriba, de ahora en adelante "!" para la facilidad de escritura son lo que se llama tetración.
k!n = k^n
3!3 es 3^3
3!!3 es 3!(3!(3)) = 3^3^3 = 3^27 = 7.6255975...*10^12.
El primer número es el que se eleva a sí mismo, el segundo número es el número de iteraciones de "!"
por ejemplo: 4!!4 sería 4!(4!(4!(4))).Para hacerlo simple el segundo número es el número de cuatros que debe haber en cadena sobre el primer cuatro = 4^4^4^4^4.
La función aumenta de forma desproporcionada con solo dos flechas, lo siguiente será aún mayor.
3!!!3 = 3!!(3!!(3)) = 3!!(3^27) = 3!!(7625597484987) = 3^3^3...3^3^3.
¡La torre de tres debe tener 7625597484987 treses, un número gigantesco!
¡3.6 millones de dígitos!
1.258014298121...*10^3638334040024 A este número lo llamaremos "A", para facilitar las cosas.
Ahora una flecha más:
3!!!!3 = 3!!!(3!!!3) = 3!!!(A) = 3!!(3!!(3!!...(3!!3)...) El número de repeticiones de lo subrayado es el número A. Es un númro tan enorme que casi escapa a la comprensión humana, lo llamaremos X, una torre de exponenciación gigantesca: 3^27 => número de treses en la torre siguiente 3^3^...3, luego el número que sale es el número de treses de la torre siguiente, hay que hacer esto ¡27 veces!. Lo llamaremos D (de demencial).
Entonces, ¿Cúal es el número que buscamos?
3!!!3 es el número de flechas de la siguiente iteración, o sea 3!!!...!!!3 (D flechas), el número inimaginablemente grande que sale es el número de flechas de la siguiente, y así...
Durante 64 iteraciones.
Ciertamente el concepto de infinito es más facil de comprender ¿No?
Algo infinito es algo que no tiene fin, sin embargo hay tipos de infinito. Contables e Incontables.
Los Náturales son el conjunto de números desde el 1 hasta el infinito.
contándolos es 1,2,3,4,5...etc. sin embargo jamás acabaríamos.
Los Reales mayores o iguales que 0: Sabemos por donde partir, desde cero, sin embargo al escribir ¿Qué sigue después del cero? 0.0000...01 sería algo así como infinitos ceros con un uno al final, por ello, no podemos contarlos.
Los Reales: aún más extraño pues los reales van desde -∞ hasta ∞, no hay inicio ni final.
Podemos emparejar los números, por ejemplo los naturales y los reales para ver quien "sobra", uno intuitivamente puede pensar "bueno, por cada natural hay infinitos reales, obviamente es más infinito este últimos", sin embargo Todos los números tendrán pareja, por muy extraño que parezca.
Más extraño aún son los "niveles" de infinito, por ejemplo:
Un punto matemático es infinitamente pequeño, no hay volumen, solo representa posición,sin embargo, podemos generar una línea, infinitos puntos infinitamente unidos hacen una linea, no hay grosor, solo largo. Luego, infinitas lineas hacen un plano, infinitos planos un volúmen, así indefinidamente, de hecho también podemos hacer que sea una línea infinitamente larga o un espacio infinitamente grande, el concepto de límite puede ilustrar el concepto del infinito.
El límite es la noción de aproximación, nos aproximamos "infinitamente" hasta el punto, sin llegar a el, por ejemplo:
Podemos usarlo para cuestiones del infinito, por ejemplo:
Límite de f(x)=1/x con x aproximándose al infinito, infinito no es un número, sin embargo sabemos que mientras más grande el denominador, más pequeño es el resultado, a la vez, mientras más se aceca a cero, más grande el resultado, con esto tenemos:
Si probamos el Límite de f(x)= x/x^2 con x tendiendo a infinito ¿Cómo saber que es cuando arriba y abajo tiende a infinito? es simple, el x^2 escala mucho más rápido que x, por ello, aunque uno diga que ambos tienden a infinito, en conjunto tienden a 0 en infinito. de hecho, si factorizamos x/x^2 por x/x queda (x/x)*(1/x) y x/x excepto si x es cero, es siempre uno, es la misma función.
Se puede hacer lo opuesto con x al cuadrado de numerador, dando el Límite como infinito, hay cosas más extrañas, pueden investigar por su cuenta, cuando un Límite queda 0/0 o infinito/infinito, hay trucos para que sean posibles de resolver (Véase: L'Hopital)
Operaciones de infinito.
Es posible establecer ciertas propiedades sin embargo hay que recordar que infinito no es un número.
| ∞ + ∞ = ∞ |
| -∞ + -∞ = -∞ |
| ∞ × ∞ = ∞ |
| -∞ × -∞ = ∞ |
| -∞ × ∞ = -∞ |
| x + ∞ = ∞ |
| x + (-∞) = -∞ |
| x - ∞ = -∞ |
| x - (-∞) = ∞ |
| Si x>0 : |
| x × ∞ = ∞ |
| x × (-∞) = -∞ |
| Si x<0 : |
| x × ∞ = -∞ |
| x × (-∞) = ∞ |
Operaciones Indefinidas.
No es como si estuviesen indefinidas, más bien Depende, al reorganizar funciones podemos observar que se puede obtener un límite (recordemos que las operaciones de este estilo "tienden" a algo en vez de "ser" algo.
| 0 × ∞ |
| 0 × -∞ |
| ∞ + -∞ |
| ∞ - ∞ |
| ∞ / ∞ |
| ∞0 |
| 1∞ |
f(x)= 1 si x e Q (si x pertenece a los racionales)
0 si x e R-Q (si x pertenece a los irracionales)
Al dibujarla se vería como dos lineas horizontales en altura 1 y altura 0, entre cada Racional existen infinitos Irracionales, así como entre cada Irracional existen infinitos Racionales, todo muy raro.
Existen otras que oscilan "Infinitamente" aumentan su frecuencia y en punto no se puede ni siquiera dar una aproximación en límite de su valor:
En esta función solo existen vagas aproximaciones, comienza a oscilar con una frecuencia que aumenta hacia el infinito, luego baja su frecuencia y la vuelve a aumentar, esto sucede infinitas veces en su dominio.
Otras utilidades del uso del infinito son por ejemplo las integrales, en un post futuro profundizaré sobre estas, sin embargo por ahora solo nos quedaremos con el concepto.
Para calcular el área o incluso volumen de un cuerpo o función tenemos:
Tenemos una función y deseamos calcular el área bajo la curva (y sobre ella cuando la función es negativa), la forma más facil que podemos pensar es dividirla equitativamente en rectángulos, así podemos obtener una aproximación, el área sería:
con f(x#) la altura de cada rectángulo tomando un punto intermedio como referencia,
con Xn-Xn-1 el ancho de cada rectángulo.
Podemos hacer la sumatoria
y posteriormente podemos hacer el Límite:
Cuando se toman rectángulos infinitesimalmente pequeños en anchura, infinitos de ellos, lo que da como resultado el área esperada.
Este tema da mucho juego por lo que lo dejaré por ahora.
Hasta aquí este post, podría haber hablado sobre las paradojas de Zenón, el hotel de Hilbert, la esfera cornuda de Alexander, la paradoja del pintor o la paradoja de San Petersburgo sin embargo las dejaré para que investiguen, además son bastante conocidas, tal vez haga un post futuro sobre ellas, hasta la próxima.
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